Курсовая работа на тему: "Функции: путь от первых идей к современной трактовке"

Содержание

 

ВВЕДЕНИЕ.. 3

Глава 1. Зарождение понятия “функция”. 4

1.1. Эволюция понятия “функция”. 4

1.2. Развитие идеи функциональной зависимости в современной математике.. 11

Глава 2. Решения различных задач. 19

2.1. Нахождение производной неявно заданной функции. 19

2.2.  Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями. 21

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.. 23

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ.. 24

ПРИЛОЖЕНИЕ А.. 25

 

ВВЕДЕНИЕ

Цель данной курсовой работы – познакомиться с историей возникновения и развития понятия «функция» в математике.

Объектом исследования является идея функциональной зависимости между величинами. Предмет исследования составляет решение задач, содержательно использующих понятие «функция».

Задачи исследования включают:  

1.         изучить материал по истории математики, содержащий сведения о возникновении идеи функциональной зависимости между величинами;

2.         составить «генеалогическое дерево» происхождения термина «функция»;

3.         изучить развитие идеи функциональной зависимости в современной математике:

-       последовательность,

-       функция одной (нескольких) переменной,

-       функция действительной (комплексной) переменной,

-       функционал,

-       оператор;

4.         разработать систему заданий, иллюстрирующую развитие идеи функциональной зависимости между величинами через классические задачи математики.

Продуктом работы является макет наглядного пособия генеалогического дерева термина «функция» и фрагмент дидактического материала по теме «Функция» для студентов направления подготовки «Педагогическое образование» профиля «Математика».

 

 

 

                                 Глава 1. Зарождение понятия “функция”

1.1.         Эволюция понятия “функция”

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) был немецким математиком, философом, талантливым оратором и остроумцем, величайшим изобретателем в истории человечества и одним из самых универсальных научных гениев. Лейбниц является автором многих инновационных инженерных идей, среди которых многофункциональный механический калькулятор / арифмометр, намного более продвинутый, чем дизайн Pascal; совершенно новые часы, система каталогизации, паровой двигатель и паровой насос.

Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4-5тыс.лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r2. Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции - теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости.

Начиная лишь с 17 века, в связи с проникновением в математику идеи переменных, понятие функции явно и вполне сознательно применяется.

Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт; они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. Введено было единое обозначение: неизвестных - последними буквами латинского алфавита - x, y, z, известных - начальными буквами того же алфавита - a, b, c, ... и т.д. Под каждой буквой стало возможным понимать не только конкретные данные, но и многие другие; в математику пришла идея изменения. Тем самым появилась возможность записывать общие формулы.

Кроме того, у Декарта и Ферма (1601-1665) в геометрических работах появляется отчетливое представление переменной величины и прямоугольной системы координат. В своей “Геометрии” в 1637 году Декарт дает понятие функции, как изменение ординаты точки в зависимости от изменения ее абсциссы; он систематически рассматривал лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться, таким образом, с понятием аналитического выражения - формулы. В 1671 году Ньютон под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется с течением времени (называл в “флюентой”).

В “Геометрии” Декарта и работах Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило по существу интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями: ординаты точек кривых - функция от абсцисс (x); путь и скорость - функция от времени (t) и т.п.

Само слово “функция” (от латинского functio -совершение, выполнение) впервые было употреблено немецким математиком Лейбницем в 1673г. в письме к Гюйгенсу (под функцией он понимал отрезок, длина которого меняется по какому-нибудь определенному закону), в печати ввел с 1694 года. Начиная с 1698 года, Лейбниц ввел также термины “переменная” и “константа”. В 18 веке появляется новый взгляд на функцию как на формулу, связывающую одну переменную с другой. Это так называемая аналитическая точка зрения на понятие функции. Подход к такому определению впервые сделал швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667-1748), который в 1718 году определил функцию следующим образом: “функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способ из этой переменной величины и постоянных”. Для обозначения произвольной функции от x Бернулли применил знак j(x), называя характеристикой функции, а также буквы x или e ; Лейбниц употреблял x1, x2 вместо современных f1(x) , f2(x). Эйлер обозначил через f : y, f: (x + y) то, что мы ныне обозначаем через f(x), f(x+y).

Наряду с e Эйлер предлагает использовать буквы F,Y и другие. Даламбер сделал шаг вперед на пути к современным обозначениям, отбрасывая двоеточие Эйлера; он пишет, например, jt, j(t+s).

Окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения сделал в 1748 году ученик Бернулли Эйлер (во “Введении в анализ бесконечного”): “Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств”. Так понимали функцию на протяжении почти всего 18 века Даламбер (1717-1783), Лагранж (1736-1813), Фурье (1768-1830) и другие видные математики. Что касается Эйлера, то он не всегда придерживался выше указанного определения; в его работах понятие функции подвергалось дальнейшему развитию в соответствии с запросами математического анализа.

В “Дифференциальном исчислении”, вышедшем в свет в 1755 году, Эйлер дает общее определение функции: “Когда некоторые количества зависят друг от друга таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функцией вторых”. “Это наименование, - продолжает далее Эйлер - имеет чрезвычайно широкий характер; оно охватывает все способы, какими одно количество определяется с помощью других”.

Как видно из определенных определений, само понятие функции фактически отождествлялось с аналитическим выражением. Новые шаги в развитии естествознания и математики вызвали и дальнейшее обобщение понятия функции.

Одним из нерешенных вопросов, связанных с понятием функции, по поводу которого велась ожесточенная борьба мнений, был следующий: можно ли одну функцию задать несколькими аналитическими выражениями?

Большой вклад в разрешение спора Эйлера, Даламбера, Бернулли и других ученых 18 века по поводу того, что стоит понимать под функцией, внес французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830), занимавшийся в основном математической физикой. В представляемых им в Парижскую АН в 1807-1811 гг. Мемуарах по теории распространения тепла в твердом теле, Фурье привел и первые примеры функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями.

Из трудов Фурье следовало, что любая кривая независимо от того, из скольких и каких разнородных частей она состоит, может быть представлена в виде единого аналитического выражения и что имеются также прерывные кривые, изображаемые аналитическим выражением. В своем “Курсе алгебраического анализа”, опубликованном в 1721г., французский математик О.Коши обосновал выводы Фурье. Таким образом, на известном этапе развития физики и математики стало ясно, что приходится пользоваться и такими функциями, для определения которых очень сложно или даже невозможно ограничиться одним лишь аналитическим аппаратом. Последний стал тормозить требуемое математикой и естествознанием расширение понятия функции.

В 1834 году в работе “Об исчезании тригонометрических строк” Н.И.Лобачевский, развивая вышеупомянутое эйлеровское определение функции в 1755г., писал: “Общее понятие требует, чтобы функцией от x называть число, которое дается для каждого x и вместе с x постепенно изменяется. Значение функции может быть дано и аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать, или оставаться неизвестной... Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа, одни с другими в связи, принимать как бы данными вместе”.

Еще до Лобачевского аналогичная точка зрения на понятие функции была высказана чешским математиком Б. Больцано. Таким образом, современное определение функции, свободное от упоминании об аналитическом задании, обычно приписываемое Дирихле, неоднократно предлагалось и до него. В 1837 году немецкий математик П.Л. Дирихле так сформулировал общее определение понятия функции: “y есть функция переменной x (на отрезке a £ x £ b), если каждому значению x на этом отрезке соответствует совершенно определенное значение y, причем безразлично каким образом установлено это соответствие - аналитической формулой, графиком, таблицей либо даже просто словами”.

Примером, соответствующим этому общему определению, может служить так называемая “функция Дирихле” j(x).

Эта функция задана двумя формулами и словесно. Она играет известную роль в анализе. Аналитически ее можно определить лишь с помощью довольно сложной формулы, не способствующей успешному изучению ее свойств. Таким образом, примерно в середине 19 века после длительной борьбы мнений понятие функции освободилось от рамок аналитического выражения, от единовластия аналитической формулы. Главный упор в основном общем определении понятия функции делается на идею соответствия.

Во второй половине 19 века после создания теории множеств в понятие функции, помимо идеи соответствия была включена и идея множества. Таким образом, в полном своем объеме общее определение понятия функции формулируется следующим образом: если каждому элементу x множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент y из множества В, то говорят, что на множестве А задана функция y=f(x), или что множество А отображено на множество В. В первом случае элементы x множества А называют значениями аргумента, а элементы их множества В - значениями функции; во втором случае x - прообразы, y - образы. В современном смысле рассматривают функции, определенные для множества значений x, которые возможно, и не заполняют отрезка a £ x £ b, о котором говорится в определении Дирихле. Достаточно указать, например, на функцию-факториал y=n!, заданную на множестве натуральных чисел. Общее понятие функции применимо, конечно, не только к величинам и числам, но и к другим математическим объектам. Например, к геометрическим фигурам. При любом геометрическом преобразовании мы имеем дело с функцией. Другими синонимами термина “функция” в различных отделах математики являются: соответствие, отображение, оператор, функционал и др.

Дальнейшее развитие математической науки в 19 веке основывалось на общем определении функции Дирихле, ставшим классическим.

Уже с самого начала 20 века определение Дирихле стало вызывать некоторые сомнения среди части математиков. Еще важнее была критика физиков, натолкнувшихся на явления, которые потребовали более широкого взгляда на физику. Необходимость дальнейшего расширения понятия функции стала особенно острой после выхода в свет в 1930 году книги “Основы квантовой механики” Поля Дирака, крупнейшего английского физика, одного из основателей квантовой механики. Дирак ввел так называемую дельта-функцию, которая выходила далеко за рамки классического определения функции. В связи с этим советский математик Н.М. Гюнтер и другие ученые опубликовали в 30-40 годах нашего столетия работы, в которых неизвестными являются не функции точки, а “функции области”, что лучше соответствует физической сущности явлений. Так, например, температуру тела в точке практически определить нельзя, в то время как температура в некоторой области тела имеет конкретный физический смысл.

В общем виде понятие обобщенной функции было введено французом Лораном Шварцем. В 1936 году, 28-летний советский математик и механик С.Л. Соболев первым рассмотрел частный случай обобщенной функции, включающей и дельта-функцию, и применил созданную теорию к решению ряда задач математической физики. Важный вклад в развитие теории обобщенной функции внести ученики и последователи Шварца - И.М. Гельфант, Г.Е. Шилов и др.

 

1.2. Развитие идеи функциональной зависимости в современной математике.

Пункт 1.

Идея функциональной зависимости в современной математике со временем развилась и теперь включает различные математические объекты, такие как:

1. Последовательность. Последовательность — это функция, областью определения которой является множество натуральных чисел. Это фундаментальное понятие в анализе, которое используется для определения пределов, непрерывности и сходимости. Концепция функциональной зависимости получила значительное развитие в современной математике, особенно в области анализа и алгебры. Идея последовательности, которая представляет собой список чисел или других объектов в определенном порядке, является фундаментальной концепцией в развитии функциональной зависимости. Изучая последовательности и их свойства, математики смогли глубже понять, как функции связаны с их входами и выходами, и как различные типы функций могут использоваться для моделирования сложных систем и явлений. Это привело к развитию важных математических инструментов и методов, таких как исчисление и линейная алгебра, которые используются в самых разных областях, от инженерии до физики и экономики.

2. Функция одной или нескольких переменных. Функция одной или нескольких переменных — это правило, которое присваивает уникальное выходное значение каждому входному значению. Эти функции часто используются в исчислении и анализе для изучения поведения функций и их производных. Развитие идеи функциональной зависимости в современной математике связано с изучением функций, которые принимают одну или несколько переменных в качестве входных данных и производят соответствующие выходные данные. Эта идея лежит в основе многих разделов математики, включая исчисление, анализ и алгебру. Функции можно изучать с точки зрения их свойств, таких как непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость, и их можно использовать для моделирования многих явлений реального мира. Современная математика также исследует концепцию многомерных функций, которые принимают несколько переменных в качестве входных данных, и отношения между ними.

3. Функция вещественной (комплексной) переменной: это функция, область определения и область значений которой являются подмножествами действительных (комплексных) чисел. Эти функции широко используются в анализе, топологии и алгебраической геометрии. Идея функциональной зависимости в математике относится к тому, как определенный вход или набор входов определяют уникальный результат математической функции. В современной математике понятие функции действительного или комплексного переменного получило широкое развитие. Это включает в себя изучение того, как функция отображает ввод из области действительных или комплексных чисел в уникальный вывод в диапазоне тех же самых чисел. Развитие исчисления, включая производные и интегралы, позволило глубже понять функции и их поведение. Кроме того, использование комплексного анализа привело к развитию более сложных методов изучения функций комплексных переменных. В целом изучение функций действительных и комплексных переменных является фундаментальным аспектом современной математики.

4. Функционал. Функционал — это функция, областью определения которой является набор функций, а область значений — набор действительных или комплексных чисел. Эти функции используются в функциональном анализе для изучения свойств функциональных пространств и их операторов. Функциональная зависимость является фундаментальным понятием современной математики, особенно в области анализа. Это отношение между двумя переменными, при котором значение одной переменной полностью определяется значением другой переменной. Эта концепция занимает центральное место в изучении функций, представляющих собой математические объекты, описывающие, как одна переменная зависит от другой. Развитие функциональной зависимости привело к созданию мощных математических инструментов и методов, которые нашли применение во многих областях науки, техники и технологий.

5. Оператор. Оператор — это функция, которая отображает функцию в другую функцию. Операторы широко используются в функциональном анализе, квантовой механике и дифференциальных уравнениях для изучения линейных преобразований и их свойств. В современной математике идея функциональной зависимости получила развитие с помощью операторов. Оператор — это функция, которая отображает одну функцию в другую функцию. Применяя операторы к функциям, математики могут изучать их свойства и отношения и понимать, как они зависят друг от друга. Операторы стали основным инструментом в различных областях математики, включая анализ, алгебру и геометрию. Они используются для определения важных понятий, таких как производные, интегралы, линейные преобразования и дифференциальные уравнения.

 

Пункт 2.  Последовательность

 

Функциональная последовательность {fn(x), x ∈ E} +∞ n=1 называется поточечно сходящейся на множестве E, если она сходится как числовая последовательность при каждом x0 ∈ E. Если функциональная последовательность поточечно сходится на множестве E, то она определяет новую функцию f(x) на множестве E: ∀x ∈ E f(x) = lim при n→∞ fn(x), называемую поточечным пределом последовательности {fn(x)}. Обозначение:

 

Последовательность {fn(x)} называют равномерно сходящейся на множестве E, если существует функция f(x), к которой эта последовательность сходится равномерно.

 

Последовательность {fn(x)} сходится неравномерно на множестве E, если выполнены два условия: 1) fn E → f (последовательность сходится поточечно на E); 2)∃ε > 0 ∀N ∈ N ∃n > N ∃x ∈ E : |fn(x) − f(x)| > ε (последовательность не сходится равномерно на множестве E). Заметим, что в отрицании условия равномерной сходимости переменные n и x могут следовать в любом порядке.

 

Ряд ∑ при n=0 до +∞ un(x), x ∈ E называется равномерно сходящимся на множестве E, если - последовательность его частичных сумм равномерно сходится к его поточечному пределу: SN (x) E ⇒ S(x) или - последовательность остатков этого ряда равномерно сходится к нулю: rN (x) E ⇒ 0

 

 

 

 

Пункт 3.       Функция одной (нескольких) переменной

 

Пусть даны два множества X и Y. Если каждому элементу x из множества X по некоторому правилу f соответствует единственный элемент y из множества Y, то говорят, что на множестве X определена функция y = f(x) с областью определения X = D(f) и областью изменения   Y = E(f). При этом x считают независимой переменной, или аргументом функции, а y – зависимой переменной или функцией.

Частным значением функции y = f(x) при фиксированном значении аргумента  x = x0 называют y0 = f(x0).

Графиком функции  y = f(x) называют геометрическое место точек M(x;f(x))  на плоскости Oxy, где x ∈ D(f) и  f(x) ∈ E(f).

Аналитический способ –  способ задания функции с помощью формулы.

Различают несколько способов аналитического задания функции:

а) Функция задана явно формулой y = f(x).

Например:  , где  D(y) = (– ∞;1) (1;+∞).

б) Функция задана неявно уравнением, связывающем x и y: F(x;y) = 0.

Например:   – уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом r. Если из этого уравнения выразить y через x, то получится две функции:

и  ,

которые имеют область определения  , а области значений этих функций будут: для первой –  , для второй –  .

в) Функция задана параметрически с помощью некоторого параметра t, причём и аргумент x, и функция y зависят от этого параметра:

Например: можно задать окружность   с помощью параметрических уравнений:

2) Табличный способ задания функции – например, таблицы Брадиса задают функции y = sin x, y = cos x и др.

3) Графический способ задания функции, когда зависимость функции от её аргумента задаётся графически.

 

Если каждой паре ( x, y) значений двух не зависящих друг от друга переменных x и y из некоторой области их изменения D по некоторому правилу ставится в соответствие единственное значение переменной z, то говорят, что на области D задана функция двух переменных z = z (x, y). Область D называется областью определения функции двух переменных, а множество значений, принимаемых переменной z, – ее областью значений. Самый распространенный способ задания функции двух переменных – аналитический, то есть с помощью формул.

 

Пункт 4.          Функция действительной (комплексной) переменной

Если каждой точке z из некоторого множества D ( D Ì C) поставлено в соответствие одно или несколько комплексных значений w, то говорят, что в D определена (однозначная или многозначная) функция комплексного переменного w = f (z). Множество D называется областью определения этой функции. Пусть z = x+iy, w = u + iv, тогда f (z) может быть представлена в виде f (z) = u (x, y) iv (x, y), где u (x, y), v (x, y)  ‒ действительные функции действительных переменных x и y. Функция u (x, y) называется действительной частью f (z), а функция v ( x, y) ‒ мнимой. Обозначения: u (x, y )= Re f(z), v (x, y) = Im f(z) .

 

 

Пункт 5.          Функционал.

Функциона́л — функция, заданная на произвольном множестве и имеющая числовую область значений: обычно множество вещественных чисел R или комплексных чисел C. В более широком смысле функционалом называется любое отображение из произвольного множества в произвольное (не обязательно числовое) кольцо. Функционалы изучаются как одно из центральных понятий в функциональном анализе, а основным предметом вариационного исчисления является изучение вариаций функционалов.

Область определения функционала может быть любым множеством. Если область определения является топологическим пространством, можно определить непрерывный функционал; если область определения является линейным пространством над R или над C, можно определить линейный функционал; если область определения является упорядоченным множеством, можно определить монотонный функционал. Функционал, заданный на топологическом пространстве X, называется непрерывным, если он непрерывен как отображение в топологическое пространство R или C. Функционал, заданный на топологическом пространстве X, называется непрерывным в точке x∈ X, если он непрерывен в этой точке как отображение в топологическое пространство R или C. Функционал, заданный на линейном пространстве, и сохраняющий сложение и умножение на константу, называется линейным функционалом. (Отображение линейного пространства в линейное пространство называют оператором).

Один из простейших функционалов — проекция (сопоставление вектору одной из его компонент или координат).

Довольно часто в роли линейного пространства выступает то или иное пространство функций (непрерывные функции на отрезке, интегрируемые функции на плоскости и т. д.). Поэтому в прикладных областях под функционалом часто понимают функцию от функций, отображение, переводящее функцию в число (действительное или комплексное). Функционал на линейном пространстве называется положительно определённым, если его значение неотрицательно и равно нулю только в нуле. Отображение, переводящее вектор в его норму, является выпуклым положительно определённым функционалом, это один из самых распространённых функционалов. В физике часто используется действие — тоже функционал. Задачи оптимизации формулируются на языке функционалов: найти решение (уравнения, системы уравнений, системы ограничений, системы неравенств, системы включений и тому подобного), доставляющее экстремум (минимум или максимум) заданному функционалу. Функционалы также рассматриваются в вариационном анализе.

 

Пункт 6.          Оператор.

Опера́тор — математическое отображение между множествами, в котором каждое из них наделено какой-либо дополнительной структурой (порядком, топологией, алгебраическими операциями). Понятие оператора используется в различных разделах математики для отличия от другого рода отображений (главным образом, числовых функций); точное значение зависит от контекста, например в функциональном анализе под операторами понимают отображения, ставящие в соответствие функции другую функцию («оператор на пространстве функций» вместо «функции от функции»).

Некоторые виды операторов: операторы на пространствах функций (дифференцирование, интегрирование, свёртка с ядром, преобразование Фурье) в функциональном анализе;отображения (в особенности линейные) между векторными пространствами (проекторы, повороты координат, гомотетии, умножения вектора на матрицу) в линейной алгебре; преобразование последовательностей (свёртки дискретных сигналов, медианный фильтр) в дискретной математике.

 

 

 

 

Глава 2. Решения различных задач.

2.1. Нахождение производной неявно заданной функции

Правильному применению методов можно научиться только применяя их на разнообразных примерах. (Г.Цейтен)

Функция может быть задана по разному. В явном виде: y=f(x), z=f(x,y) то есть если одна переменная выражена через другие.

Y выражен через x: y=x⁴+sin(x).

z выражен через x и y: z=5 ln (x) + y³

Функция может быть задана параметрические, если задана в следующем виде:

X=x(t)            

Y=y(t)

Z=z(t)

И функция может быть задана в неявном виде.

Функция задана неявно уравнение F(x,y)=0 или F(x,y,z)=0. Если все переменные находятся в одной стороне уравнения, а в другой стороне 0. Рассмотрим случай двух переменных. Решить уравнение, заданной в неявном виде можно двумя способами: 1. Выразить одну переменную через другую. 2. Продифференцировать обе части уравнения считая y функцией от x. И из полученного уравнения найти y’.

Пример 1.

 x²+y²=1   - неявно заданная функция.

Можно перенести 1 в левую часть, а справа оставить 0. Надо найти производную такой фунции y_x’

Находим производную каждой части (каждого слагаемого) по формуле и выражаем y’

(x²)’+(y²)’-(1)’=0;  

3x²+2y y’=0;          так как  y=y(x), y может быть сложная функция. Умножаем на y’

y’=-              Это и будет ответ.

 

Пример 2.

sin(x) + cos(y) – 3xy = 0    - неявно заданная функция

Задача: найти y_x’

Находим производную каждой части

(sin (x))’ + (cos (y))’ – (3xy)’ = 0

cos (x) – sin (y) y’ – 3(x’y+y’x)=0

cos (x) – sin (y) y’ – 3y-3y’x=0

Вынесем общий множитель y’ за скобки

y’(-sin(y)-3x)=3y-cos(x)

Выражаем и преобразовываем y’

y’=        

2.2. Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями  и
.

Решение. В системе координат  построим графики обеих функций (рисунок 4). Построение графиков функций выполним с использованием таблиц значений (таблицы 3-4).

Вычисление площадей криволинейных трапеций, участвующих в образовании фигуры выполним по формулам:

                                    ,                             (1.1)

                                     .                              (1.2)

Искомую площадь фигуры вычислим как разность площадей криволинейных трапеций, найденных по формулам (1.1) – (1.2): .

Ответ: .

Предложенная задача может быть использована при работе с наглядным пособием (Приложение А).

Таблица 3 – Таблица значений для построения графика функции  

	0	1	4	9
	0	1	2	3

Таблица 4 – Таблица значений для построения графика функции  

	0	1	2	4
	0

 

 

Рисунок 4. Иллюстрация к задаче 1
на нахождение площади криволинейной фигуры

 

 «Исторически интеграл возник в связи с вычислением площадей фигур, ограниченных кривыми, в частности в связи с вычислением площадей криволинейных трапеций» [3, с. 213].  Использование определенного интеграла для вычисления площади криволинейной трапеции может опираться на определение интеграла как предела интегральных сумм [3, с. 214] или на трактовку интеграла как числа, разделяющего множества нижних и верхних сумм Дарбу подынтегральной функции [4, с. 141]. Наконец, используя определение производной функции, можно доказать, что площадь криволинейной трапеции равна приращению первообразной подынтегральной функции на отрезке интегрирования [3, с. 209].

Каждый из указанных подходов к определению (вычислению) определенного интеграла имеет наглядную визуальную интерпретацию и может рассматриваться уже в школьном курсе математики. Однако понятие числа, разделяющего два множества, объективно являясь более сложным, чем понятия предела и производной, в курсе школьной математики не рассматривается.

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Понятие функции является одним из важных понятий математической науки и представляет большую ценность для школьного курса математики. Русский математик и педагог А. Я. Хинчин указывал, что понятие функциональной зависимости должно стать не только одним из важных понятий школьного курса математики, но тем основным стержнем, проходящим от элементарной арифметики до высших разделов алгебры, геометрии и тригонометрии, вокруг которых группируется всё математическое представление.

В настоящее время появилось много новых школьных учебников по математике. Понятие функциональной зависимости является одним из ведущих в математической науке, поэтому сформированность представлений понятия у школьников представляет важную задачу в целенаправленной деятельности учителя по развитию математического мышления и творческой активности детей. Развитие функциональной идеи предполагает, прежде всего, развитие способности к обнаружению новых связей, овладению общими учебными приемами и умениями.

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1.     Баранов С.В. Производственные функции: об истории, свойствах, проблемах и возможностях использования в региональных исследованиях // Экономический анализ: теория и практика. 2012. № 47(302). С. 11-15. [Электронный ресурс]. – URL:

https://www.elibrary.ru/item.asp?id=18262543 (дата обращения 14.09.2022).

2.     Каменева С.А. Математические функции, используемые в экономике // Вестник волжского университета имени В.Н. Татищева. 2016. Том 2. № 2. С. 19-24. [Электронный ресурс]. – URL:

https://www.elibrary.ru/item.asp?id=26150158 (дата обращения 14.09.2022).

3.     Нелин Е.П., Лазарев В.А. Алгебра и начала математического анализа.11 класс: учеб. для. общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни. – М.: Илекса, 2012. – 432 с.

4.     Пантаев М.Ю. Матанализ с человеческим лицом, или Как выжить после предельного перехода: Полный курс математического анализа. Т.1: Начала анализа. Язык анализа. Предел последовательности. Предел функции и непрерывность. Производная. Основные теоремы дифференциального исчисления. Применение производной. – М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2012. – 368 с.

5.     Николаева Н.И. Функции нескольких переменных. Конспект лекций. Часть 3 / Н.И. Николаева. – Омск: Изд-во ОмГТУ, 2009. – 32 с.

6.     О.В. Болотников, Д.В. Тарасов. Учебное пособие издательство ПГУ, 2013 год.

7.     Чистяков В.Д. Исторические экскурсы на уроках математики в средней школе. - Минск: “Народная освета”. - 1969.

8.     Чистяков В.Д. Исторические экскурсы на уроках математики в средней школе. - Минск: “Народная освета”. - 1969.